Двоичное представление информации в памяти компьютера. Кодирование чисел.
  главная : карта раздела : автора  
 


Интерактивный тренажер 16 ЕГЭ ДЕМО 2017
Кодирование чисел. Двоичное представление информации в памяти компьютера.


Возникли вопросы, сомнения или появились замечания, пишите...


Разбор решения задания 16 демоверсии ЕГЭ 2016
Кодирование чисел. Системы счисления и двоичное представление информации.

Значение арифметического выражения: 9^8 + 3^5 – 9 – записали в системе счисления с основанием 3.
Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

РЕШЕНИЕ: Преобразим заданную запись чисел в степень тройки

9^8 + 3^5 – 9 = 3^2*8 + 3^5 - 3^2 = 3^16 + 3^5 – 3^2

Для наглядности составляем таблицу степеней тройки аналогично тому, как это делали для двоичной системы счисления, не забывая, что десятичная тройка 3^1, в троичной системе счисления =10, следовательно, 3^2 = 100 и т.д.

 3^16  +  …  +          3^5     +     3^4      +        3^3   +   3^2     +     3^1     +     3^0

1(и 18 нулей)   100000          10000             1000      100             10               1           

Становится очевидным, что в числе 3^16 двоек нет, только одна 1 и шестнадцать ноликов. Остается из 3^5 вычесть  3^2 в троичной системе счисления

100000
-     100
----------
22200

На всякий случай проведем проверку сложением, вспомнив, что в троичной системе счисления 2+1 = 10

 
022200
+     100
---------
100000

Все сошлось, остается подсчитать количество двоек, которое у нас получилось.
Таким образом, правильный ответ: 3


Интерактивный тренажер 16 ЕГЭ ДЕМО 2016
Кодирование чисел. Двоичное представление информации в памяти компьютера.

Тренажер по решению задач 16 ЕГЭ 2015
Кодирование чисел. Системы счисления
   

ПРИМЕР:

Сколько единиц в двоичной записи числа 4^2016-2^2018+8^800-80

РЕШЕНИЕ:

1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2^6+2^4 4^2016 – 2^2018 + 8^800 – 80 = (2^2)^2016 – 2^2018 + (2^3)^800 – 2^2 – 2^1 = 2^4032 – 2^2018 + 2^2400 – 2^6 – 2^4

2) перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки 2^4032 + 2^2400 – 2^2018 – 2^6 – 2^4

3) выражение 2^2400-2^4 дает 2396 единиц и 4 нолика в конце, откуда вычеркиваем (заменяем на ноль) единичку, стоящую на седьмом месте справа (2^6) и, соответственно на 2019 месте справа (2^2018). Следовательно, остается 2394 единички

4) С учетом того, что 2^4032 дает нам одну единицу, в итоге получаем 2395 единиц  -


Тренажер по решению задач 16 ЕГЭ 2015

Примеры заданий и их решений, генерируемых интерактивным тренажером по задачам16 ЕГЭ 2015
Кодирование чисел. Системы счисления

Задание №1.3

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 8^4096 - 16^512 - 68?

РЕШЕНИЕ:

1) приведём все числа к степени двойки 8^4096 - 16^512 - 68 = (2^3)^4096 - (2^4)^512 - 2^6 - 2^2 = 2^12288 - 2^2048 - 2^6 - 2^2

2) число 2^N–2^K при K < N записывается как N–K единиц и еще + K ноликов, откуда можем запись, что 2^12288 - 2^2048 = 10240 единиц(ы) и на конце еще 2048 нолик(а,ов).

Не забудем что у нас еще остается число 2^6, которое дает единицу и число 2^2- еще одну единицу, которые, в свою очередь, не забываем вычесть, с учетом правила заема в двоичной системе счисления при вычитании из нуля единицы.

Окончательно получаем: 12284

Правильный ответ: [12284]

 

Задание №2.4

Перечислите, разделяя точкой, в порядке убывания все десятичные числа не превосходящие 34, запись которых в системе счисления с основанием 5 оканчивается на 4

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся методом соответствия числовых рядов, т.е. в первом столбце прописываем десятичные числа, а во втором - по основанию 5

0 = 0
1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 4
5 = 10
6 = 11
7 = 12
8 = 13
9 = 14
10 = 20
11 = 21
12 = 22
13 = 23
14 = 24
15 = 30
16 = 31
17 = 32
18 = 33
19 = 34
20 = 40
21 = 41
22 = 42
23 = 43
24 = 44
25 = 100
26 = 101
27 = 102
28 = 103
29 = 104
30 = 110
31 = 111
32 = 112
33 = 113
34 = 114

остается выбрать те десятичные числа, запись которых по основанию 5, оканчивается на 4 не забудем, что ответ нужно записать именно в в порядке убывания

Правильный ответ: [34.29.24.19.14.9.4]

 

Задание №3.9

Перечислите через запятую в порядке убывания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 79 оканчивается на 33.

РЕШЕНИЕ:

Неизвестное основание системы счисления обозначим как N Из условия: оканчивается на 33, следует, что:

1) - остаток от деления 79 на N равен 33, т.е.два младших разряда нам известены.

2) - основание данной системы должно быть больше либо равно 4. Вспомним алгоритм перевода чисел из произвольной системы счисления в десятичную:

79(10) = k33(N) = k*N^2 + 3*N^1 +3*N^0, где k – целое неотрицательное число 0, 1, 2, … откуда получаем уравнение:

79 = k*N^2 + 3*N +3 79 - 3 = k*N^2 + 3*N 76 = k*N^2 + 3*N

находим все делители числа 76 большие либо равные 4

4,19,38,76 из этих делителей берем те, которые после подстановки в уравнение: k = (76 - 3*N)/N^2 - дают целое число

для N = 4 : k = 4
для N = 19 : k = 0.05
для N = 38 :k = -0.02
для N = 76 : k = -0.026
не забудем, что ответ нужно записать именно в порядке убывания

Правильный ответ: [4]

 

Задание №4.6

Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 23 имеет 2 разряда.

РЕШЕНИЕ:

Самое простое, это воспользоваться методом подбора и перевести десятичное число 23 последовательно в ситемы счисления по основанию 2,3,4 ...

2 = 10111
3 = 212
4 = 113
5 = 43

Правильный ответ: [5]

 

Задание №5.11

Решите уравнение: 42(9) - Х(6) = 32(5), где в скобках указано основание системы счисления. Ответ запишите в системе счисления по основанию 6. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Решение:

Переводим все числа в десятичную систему счисления, 42(9) = 4*9^1 +2*9^0 = 38(10) 32(5) = 3*5^1 +2*5^0 = 17(10) при этом уравнение принимает привычный вид: 38 - Х = 17

Откуда можем записать, что -Х = 17 - 38

домножая обе части на (-1) получаем, что Х = 38 - 17 = 21

Нам остается перевести найденное десятичное число: 21 в заданную систему счисления делением на 6.

Таким образом, правильный ответ: [33]

Задание №6.1

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 8^1024 + 8^512 - 36?

РЕШЕНИЕ:

1) приведём все числа к степени двойки 8^1024 + 8^512 - 36 = (2^3)^1024 + (2^3)^512 - 2^5 - 2^2 = 2^3072 + 2^1536 - 2^5 - 2^2

2) число 2^N–2^K при K < N записывается как N–K единиц и еще + K ноликов, откуда можем запись, что 2^1536 - 2^2 = 1534 единиц(ы) и на конце еще 2 нолик(а).

Не забудем что у нас еще остается число 2^5 которое дает единицу и число 2^3072 еще одну единицу

Окончательно получаем: 1534 + 1 - 1 = 1534

Правильный ответ: [1534]

 

Задание №7.2

Перечислите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 74 оканчивается на 4.

РЕШЕНИЕ:

Неизвестное основание системы счисления обозначим как N

Из условия: оканчивается на 4, следует, что:

1) - остаток от деления 74 на N равен 4, т.е. младший разряд нам известен.

2) - основание данной системы должно быть строго больше 4

Вспомним алгоритм перевода чисел из произвольной системы счисления в десятичную: 123(N) = 1*N^2 + 2*N^1 + 3*N^0, откуда следует, что: 74(10) = k*N^1 + 4*N^0, где k – целое неотрицательное число 0, 1, 2, … откуда получаем уравнение:

74 = k*N + 4

74 - 4 = k*N

70 = k*N

сложность решения данного уравнения в том, что k и N неизвестны, но мы знаем, что это натуральные числа, так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 70

k = 1 N = 70
k = 2 N = 35
k = 5 N = 14
k = 7 N = 10
k = 10 N = 7
k = 14 N = 5
k = 35 N = 2
k = 70 N = 1

не забудем, что берем только те, которые больше 4 и то, что ответ нужно записать именно в порядке возрастания

Правильный ответ: [5,7,10,14,35,70]

 

Задание №8.13

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 64^256 - 9?

РЕШЕНИЕ:

1) приведём все числа к степени двойки 64^256 - 9 = (2^6)^256 - 9 = 2^1536 - (2^0 + 2^3) = 2^1536 - 1 - 2^3

2) вспомним, что число (2^N)-1 в двоичной системе записывается как N единиц, откуда можем запись, что 2^1536 - 1 = 1536 единиц(ы).

Не забудем, что у нас еще остается число 2^3 дающее единицу, которую необходимо вычесть из общего ответа.

Окончательно получаем: 1536 - 1 = 1535

Правильный ответ: [1535]

 

Задание №9.12

Перечислите, разделяя запятой, в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 35, запись которых в системе счисления с основанием 4 начинается на 3

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся методом соответствия числовых рядов, т.е. в первом столбце прописываем десятичные числа, а во втором - по основанию 4

1 - 1
2 - 2
3 - 3
4 - 10
5 - 11
6 - 12
7 - 13
8 - 20
9 - 21
10 - 22
11 - 23
12 - 30
13 - 31
14 - 32
15 - 33
16 - 100
17 - 101
18 - 102
19 - 103
20 - 110
21 - 111
22 - 112
23 - 113
24 - 120
25 - 121
26 - 122
27 - 123
28 - 130
29 - 131
30 - 132
31 - 133
32 - 200
33 - 201
34 - 202
35 - 203

остается выбрать те десятичные числа, запись которых по основанию 4, начинается на 3 не забудем, что ответ нужно записать именно в порядке возрастания

Правильный ответ: [3,12,13,14,15]

 

Задание №10.5

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 1024^8192 + 16^1024 - 8^512 - 132?

РЕШЕНИЕ:

1) приведём все числа к степени двойки, кроме первого числа - 1024^8192 поскольку оно дает всего одну единичку, которую мы и прибавим к конечному результату

1024^8192 + 16^1024 - 8^512 - 132 = (2^4)^1024 - (2^3)^512 - 2^7 - 2^2 = 2^4096 - 2^1536 - 2^7 - 2^2

2) число 2^N–2^K при K < N записывается как N–K единиц и еще + K ноликов, откуда можем запись, что 2^4096 - 2^1536 = 2560 единиц(ы) и на конце еще 1536 нолик(а,ов).

Не забудем что у нас еще остается число 2^7, которое дает единицу и число 2^2- еще одну единицу, которые, в свою очередь, не забываем вычесть, с учетом правила заема в двоичной системе счисления при вычитании из нуля единицы.

Окончательно получаем: 4093

Правильный ответ: [4093]

 

Задание №11.8

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 143 записывается в виде 217. Укажите это основание.

РЕШЕНИЕ:

Составляем уравнение: 143(10) = 2*N^2 +1*N^1 + 7*N^0 143 = 2*N^2 +1*N + 7 ....

Решая данное уравнение находим, что N = 8

Правильный ответ: [8]

 

Задание №12.10

Какое десятичное число при записи в системе счисления с основанием 4 представляется как 2230

РЕШЕНИЕ:

2*4^3 + 2*4^2 + 3*4^1 + 0*4^0 = 172

Правильный ответ: [172]

 

Задание №14.8

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 16^512 - 32^32 + 512^8192 - 48?

РЕШЕНИЕ

1) приведём все числа к степени двойки 16^512 - 32^32 + 512^8192 - 48 =

= (2^4)^512 - (2^5)^32 + (2^9)^8192 - 2^5 - 2^4 =

= 2^2048 - 2^160 + 2^73728 - 2^5 - 2^4

2) перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки 2^73728 + 2^2048 - 2^160 - 2^5 - 2^4

3) отбрасываем число 2^73728 поскольку оно дает всего одну единичку, которую мы и прибавим к конечному результату

4) число 2^N–2^K при K < N записывается как N–K единиц и еще + K ноликов, откуда можем запись, что 2^2048 - 2^4 дает двоичное число из 2044 единиц(ы) и на конце еще 4 нолик(а,ов).

5) Не забудем что у нас еще остается число 2^5, которое дает единицу и число 2^160- еще одну единицу, которые, в свою очередь, не забываем вычесть.

6) К полученному результу остается добавить одну единичку из первого пункта

7) Окончательно получаем: 2045

Правильный ответ: [2045]


Ниже размещен програмный код для желающих разместить тренажер по решению задач 16 ЕГЭ 2015 на
"Кодирование чисел. Системы счисления" на своем сайте


 
© Северобайкальск, Russia
Александр Козлов, 2017

  Рейтинг@Mail.ru